預(yù)測(cè)技術(shù)之三——指數(shù)平滑法

　　指數(shù)平滑法（Exponential Smoothing，ES）是布朗（Robert G……Brown）所提出，布朗認(rèn)為時(shí)間序列的態(tài)勢(shì)具有穩(wěn)定性或規(guī)則性，所以時(shí)間序列可被合理地順勢(shì)推延；他認(rèn)為最近的過去態(tài)勢(shì)，在某種程度上會(huì)持續(xù)的未來，所以將較大的權(quán)數(shù)放在最近的資料。

　　指數(shù)平滑法是生產(chǎn)預(yù)測(cè)中常用的一種方法。也用于中短期經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)，所有預(yù)測(cè)方法中，指數(shù)平滑是用得最多的一種。簡(jiǎn)單的全期平均法是對(duì)時(shí)間數(shù)列的過去數(shù)據(jù)一個(gè)不漏地全部加以同等利用；移動(dòng)平均法則不考慮較遠(yuǎn)期的數(shù)據(jù)，并在加權(quán)移動(dòng)平均法中給予近期資料更大的權(quán)重；而指數(shù)平滑法則兼容了全期平均和移動(dòng)平均所長(zhǎng)，不舍棄過去的數(shù)據(jù)，但是僅給予逐漸減弱的影響程度，即隨著數(shù)據(jù)的遠(yuǎn)離，賦予逐漸收斂為零的權(quán)數(shù)。

　　也就是說指數(shù)平滑法是在移動(dòng)平均法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種時(shí)間序列分析預(yù)測(cè)法，它是通過計(jì)算指數(shù)平滑值，配合一定的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型對(duì)現(xiàn)象的未來進(jìn)行預(yù)測(cè)。其原理是任一期的指數(shù)平滑值都是本期實(shí)際觀察值與前一期指數(shù)平滑值的加權(quán)平均。

　　基本公式St= a* yt+（1- a）* St-1

　　St——時(shí)間t的平滑值；

　　yt——時(shí)間t的實(shí)際值；

　　St-1——時(shí)間t-1的平滑值；

　　a——平滑常數(shù)，其取值范圍為[0，1]；

　　由該公式可知：1.St是yt和 St-1的加權(quán)算數(shù)平均數(shù)，隨著a取值的大小變化，決定yt和 St-1對(duì)St的影響程度，當(dāng)a取1時(shí)，St= yt；當(dāng)a取0時(shí)，St= St-1. 2.St具有逐期追溯性質(zhì)，可探源至St-t+1為止，包括全部數(shù)據(jù)。其過程中，平滑常數(shù)以指數(shù)形式遞減，故稱之為指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑常數(shù)取值至關(guān)重要。平滑常數(shù)決定了平滑水平以及對(duì)預(yù)測(cè)值與實(shí)際結(jié)果之間差異的響應(yīng)速度。平滑常數(shù)a越接近于1，遠(yuǎn)期實(shí)際值對(duì)本期平滑值的下降越迅速；平滑常數(shù)a越接近于 0，遠(yuǎn)期實(shí)際值對(duì)本期平滑值影響程度的下降越緩慢。由此，當(dāng)時(shí)間數(shù)列相對(duì)平穩(wěn)時(shí)，可取較大的a；當(dāng)時(shí)間數(shù)列波動(dòng)較大時(shí)，應(yīng)取較小的a，以不忽略遠(yuǎn)期實(shí)際值的影響。生產(chǎn)預(yù)測(cè)中，平滑常數(shù)的值取決于產(chǎn)品本身和管理者對(duì)良好響應(yīng)率內(nèi)涵的理解。

　　據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為：一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等。

　　一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)間數(shù)列無明顯的趨勢(shì)變化，可用一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)。

　　其預(yù)測(cè)公式為：yt+1'=ayt+（1-a）yt' 式中，yt+1'——t+1期的預(yù)測(cè)值，即本期（t期）的平滑值St ； 　yt——t期的實(shí)際值； 　yt'——t期的預(yù)測(cè)值，即上期的平滑值St-1 .該公式又可以寫作：yt+1'=yt'+a（yt- yt'）。可見，下期預(yù)測(cè)值又是本期預(yù)測(cè)值與以a為折扣的本期實(shí)際值與預(yù)測(cè)值誤差之和。

　　二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)二次指數(shù)平滑是對(duì)一次指數(shù)平滑的再平滑。它適用于具線性趨勢(shì)的時(shí)間數(shù)列。

　　其預(yù)測(cè)公式為：yt+m=（2+am/（1-a））yt'-（1+am/（1-a））yt=（2yt'-yt）+m（yt'-yt） a/（1-a）式中，yt= ayt-1'+（1-a）yt-1 　顯然，二次指數(shù)平滑是一直線方程，其截距為：（2yt'-yt），斜率為：（yt'-yt） a/（1-a），自變量為預(yù)測(cè)天數(shù)。

　　二次指數(shù)平滑基本公式 St=αSt+（1-α）St-1 Yt+T=at+btT at=2St-St bt=（α/1-α）（St-St）

　　St——第t期的一次指數(shù)平滑值 St——第t期的二次指數(shù)平滑值 α——平滑系數(shù) Yt+T——第t+T期預(yù)測(cè)值 T——由t期向后推移期數(shù)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)是二次平滑基礎(chǔ)上的再平滑。

　　其預(yù)測(cè)公式是：yt+m=（3yt'-3yt+yt）+[（6-5a）yt'-（10-8a）yt+（4-3a）yt]*am/2（1-a）2+ （yt'-2yt+yt'）*a2m2/2（1-a）2 式中，yt=ayt-1+（1-a）yt-1它們的基本思想都是：預(yù)測(cè)值是以前觀測(cè)值的加權(quán)和，且對(duì)不同的數(shù)據(jù)給予不同的權(quán)，新數(shù)據(jù)給較大的權(quán)，舊數(shù)據(jù)給較小的權(quán)。

　　3.盡管St包含有全期數(shù)據(jù)的影響，但實(shí)際計(jì)算時(shí)，僅需要兩個(gè)數(shù)值，即yt和 St-1，再加上一個(gè)常數(shù)a，這就使指數(shù)滑動(dòng)平均具有逐期遞推性質(zhì)，從而給預(yù)測(cè)帶來了極大的方便。

　　4.根據(jù)公式S1=ay1+（1-a）S0，當(dāng)欲用指數(shù)平滑法時(shí)才開始收集數(shù)據(jù)，則不存在y0.無從產(chǎn)生S0，自然無法據(jù)指數(shù)平滑公式求出S1，指數(shù)平滑法定義S1為初始值。初始值的確定也是指數(shù)平滑過程的一個(gè)重要條件。

　　如果能夠找到y(tǒng)1以前的歷史資料，那么，初始值S1的確定是不成問題的。數(shù)據(jù)較少時(shí)可用全期平均、移動(dòng)平均法；數(shù)據(jù)較多時(shí)，可用最小二乘法。但不能使用指數(shù)平滑法本身確定初始值，因?yàn)閿?shù)據(jù)必會(huì)枯竭。

　　如果僅有從y1開始的數(shù)據(jù)，那么確定初始值的方法有：1）取S1等于y1；2）待積累若干數(shù)據(jù)后，取S1等于前面若干數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)，如：S1=（y1+ y2+y3）/3等等。

　　一段時(shí)間內(nèi)收集到的數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)的上升或下降趨勢(shì)將導(dǎo)致指數(shù)預(yù)測(cè)滯后于實(shí)際需求。通過趨勢(shì)調(diào)整，添加趨勢(shì)修正值，可以在一定程度上改進(jìn)指數(shù)平滑預(yù)測(cè)結(jié)果。調(diào)整后的指數(shù)平滑法的公式為：包含趨勢(shì)預(yù)測(cè)（YITt）=新預(yù)測(cè)（Yt）+趨勢(shì)校正（Tt）

　　進(jìn)行趨勢(shì)調(diào)整的指數(shù)平滑預(yù)測(cè)有三個(gè)步驟：

　　1、 利用前面介紹的方法計(jì)算第t期的簡(jiǎn)單指數(shù)平滑預(yù)測(cè)（Yt）；

　　2、 計(jì)算趨勢(shì)。

　　其公式為： Tt=（1-b）Tt-1+b（Yt-Yt-1）

　　其中，Tt=第t期經(jīng)過平滑的趨勢(shì)；

　　Tt-1=第t期上期經(jīng)過平滑的趨勢(shì)；

　　b=選擇的趨勢(shì)平滑系數(shù)；

　　Yt=對(duì)第t期簡(jiǎn)單指數(shù)平滑預(yù)測(cè)；

　　Yt-1=對(duì)第t期上期簡(jiǎn)單指數(shù)平滑預(yù)測(cè)。

　　3、計(jì)算趨勢(shì)調(diào)整后的指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值（YITt）。計(jì)算公式為：YITt=Yt+Tt.

　　模型的建立

　　指數(shù)平滑法一般有一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)模型為

　　指數(shù)平滑法在小浪底大壩變形

　　初始值的確定，即第一期的預(yù)測(cè)值。一般原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)較多時(shí)（大于15項(xiàng)），可以選用第一期的觀察值或選用比第一期前一期的觀察值作為初始值。如果原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)較少時(shí)（小于15項(xiàng)），可以選取最初幾期（一般為前三期）的平均數(shù)作為初始值。指數(shù)平滑方法的選用，一般可根據(jù)原數(shù)列散點(diǎn)圖呈現(xiàn)的趨勢(shì)來確定。如呈現(xiàn)直線趨勢(shì)，選用二次指數(shù)平滑法；如呈現(xiàn)拋物線趨勢(shì)，選用三次指數(shù)平滑法?；蛘撸?dāng)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)經(jīng)二次指數(shù)平滑處理后，仍有曲率時(shí)，應(yīng)用三次指數(shù)平滑法。

　　系數(shù)α的確定指數(shù)平滑法的計(jì)算中，關(guān)鍵是α的取值大小，但α的取值又容易受主觀影響，因此合理確定α的取值方法十分重要，一般來說，如果數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，α值應(yīng)取大一些，可以增加近期數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。如果數(shù)據(jù)波動(dòng)平穩(wěn)，α值應(yīng)取小一些。理論界一般認(rèn)為有以下方法可供選擇：經(jīng)驗(yàn)判斷法。這種方法主要依賴于時(shí)間序列的發(fā)展趨勢(shì)和預(yù)測(cè)者的經(jīng)驗(yàn)做出判斷。

　　1、當(dāng)時(shí)間序列呈現(xiàn)較穩(wěn)定的水平趨勢(shì)時(shí)，應(yīng)選較小的α值，一般可在0.05～0.20之間取值；

　　2、當(dāng)時(shí)間序列有波動(dòng)，但長(zhǎng)期趨勢(shì)變化不大時(shí)，可選稍大的α值，常在0.1～0.4之間取值；

　　3、當(dāng)時(shí)間序列波動(dòng)很大，長(zhǎng)期趨勢(shì)變化幅度較大，呈現(xiàn)明顯且迅速的上升或下降趨勢(shì)時(shí)，宜選擇較大的α值，如可在0.6～0.8間選值，以使預(yù)測(cè)模型靈敏度高些，能迅速跟上數(shù)據(jù)的變化；

　　4、當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是上升（或下降）的發(fā)展趨勢(shì)類型，α應(yīng)取較大的值，在0.6~1之間。

　　試算法。根據(jù)具體時(shí)間序列情況，參照經(jīng)驗(yàn)判斷法，來大致確定額定的取值范圍，然后取幾個(gè)α值進(jìn)行試算，比較不同α值下的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差，選取預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差最小的α。

　　在實(shí)際應(yīng)用中預(yù)測(cè)者應(yīng)結(jié)合對(duì)預(yù)測(cè)對(duì)象的變化規(guī)律做出定性判斷且計(jì)算預(yù)測(cè)誤差，并要考慮到預(yù)測(cè)靈敏度和預(yù)測(cè)精度是相互矛盾的，必須給予二者一定的考慮，采用折中的α值。

　　具體應(yīng)用以某軟件公司A為例，給出2000-2005年的歷史銷售資料，將數(shù)據(jù)代入指數(shù)平滑模型，預(yù)測(cè)2006年的銷售額，作為銷售預(yù)算編制的基礎(chǔ)。

　　根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷法，A公司2000-2005年銷售額時(shí)間序列波動(dòng)很大，長(zhǎng)期趨勢(shì)變化幅度較大，呈現(xiàn)明顯且迅速的上升趨勢(shì)，宜選擇較大的α值，可在0.5～0.8間選值，以使預(yù)測(cè)模型靈敏度高些，結(jié)合試算法取0.5，0.6，0.8分別測(cè)試。經(jīng)過第一次指數(shù)平滑后，數(shù)列散點(diǎn)圖呈現(xiàn)直線趨勢(shì)，故選用二次指數(shù)平滑法即可。

　　根據(jù)偏差平方的均值（MSE）最小，即各期實(shí)際值與預(yù)測(cè)值差的平方和除以總期數(shù)，以最小值來確定α的取值的標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)測(cè)算當(dāng)α=0.6時(shí)，MSE1=1445.4；當(dāng)α=0.8時(shí)，MSE2=10783.7；當(dāng)α=0.5時(shí)，MSE3=1906.1.因此選擇α=0.6來預(yù)測(cè)2006年4個(gè)季度的銷售額。