時間序列分析（Time series analysis）是一種動態(tài)數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計方法。該方法基于隨機過程理論和數(shù)理統(tǒng)計學方法，研究隨機數(shù)據(jù)序列所遵從的統(tǒng)計規(guī)律，以用于解決實際問題。

　　它包括一般統(tǒng)計分析（如自相關分析，譜分析等），統(tǒng)計模型的建立與推斷，以及關于時間序列的最優(yōu)預測、控制與濾波等內容。經(jīng)典的統(tǒng)計分析都假定數(shù)據(jù)序列具有獨立性，而時間序列分析則側重研究數(shù)據(jù)序列的互相依賴關系。后者實際上是對離散指標的隨機過程的統(tǒng)計分析，所以又可看作是隨機過程統(tǒng)計的一個組成部分。例如，記錄了某地區(qū)第一個月，第二個月，……，第N個月的降雨量，利用時間序列分析方法，可以對未來各月的雨量進行預報。

　　隨著計算機的相關軟件的開發(fā)，數(shù)學知識不再是空談理論，時間序列分析主要是建立在數(shù)理統(tǒng)計等知識之上，應用相關數(shù)理知識在相關方面的應用等。

　　時間序列是按時間順序的一組數(shù)字序列。時間序列分析就是利用這組數(shù)列，應用數(shù)理統(tǒng)計方法加以處理，以預測未來事物的發(fā)展。時間序列分析是定量預測方法之一，它的基本原理：一是承認事物發(fā)展的延續(xù)性。應用過去數(shù)據(jù)，就能推測事物的發(fā)展趨勢。二是考慮到事物發(fā)展的隨機性。任何事物發(fā)展都可能受偶然因素影響，為此要利用統(tǒng)計分析中加權平均法對歷史數(shù)據(jù)進行處理。該方法簡單易行，便于掌握，但準確性差，一般只適用于短期預測。時間序列預測一般反映三種實際變化規(guī)律：趨勢變化、周期性變化、隨機性變化。

　　時間序列分析是根據(jù)系統(tǒng)觀測得到的時間序列數(shù)據(jù)，通過曲線擬合和參數(shù)估計來建立數(shù)學模型的理論和方法。它一般采用曲線擬合和參數(shù)估計方法（如非線性最小二乘法）進行。時間序列分析常用在國民經(jīng)濟宏觀控制、區(qū)域綜合發(fā)展規(guī)劃、企業(yè)經(jīng)營管理、市場潛量預測、氣象預報、水文預報、地震前兆預報、農作物病蟲災害預報、環(huán)境污染控制、生態(tài)平衡、天文學和海洋學等方面。

　　一個時間序列通常由4種要素組成：趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)波動和不規(guī)則波動。

　　趨勢：是時間序列在長時期內呈現(xiàn)出來的持續(xù)向上或持續(xù)向下的變動。

　　季節(jié)變動：是時間序列在一年內重復出現(xiàn)的周期性波動。它是諸如氣候條件、生產(chǎn)條件、節(jié)假日或人們的風俗習慣等各種因素影響的結果。

　　循環(huán)波動：是時間序列呈現(xiàn)出得非固定長度的周期性變動。循環(huán)波動的周期可能會持續(xù)一段時間，但與趨勢不同，它不是朝著單一方向的持續(xù)變動，而是漲落相同的交替波動。

　　不規(guī)則波動：是時間序列中除去趨勢、季節(jié)變動和周期波動之后的隨機波動。不規(guī)則波動通�？偸菉A雜在時間序列中，致使時間序列產(chǎn)生一種波浪形或震蕩式的變動。只含有隨機波動的序列也稱為平穩(wěn)序列。

　　時間序列建�；�本步驟是：

　　①用觀測、調查、統(tǒng)計、抽樣等方法取得被觀測系統(tǒng)時間序列動態(tài)數(shù)據(jù)。

　�、诟鶕�(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)作相關圖，進行相關分析，求自相關函數(shù)。相關圖能顯示出變化的趨勢和周期，并能發(fā)現(xiàn)跳點和拐點。跳點是指與其他數(shù)據(jù)不一致的觀測值。如果跳點是正確的觀測值，在建模時應考慮進去，如果是反常現(xiàn)象，則應把跳點調整到期望值。拐點則是指時間序列從上升趨勢突然變?yōu)橄陆第厔莸狞c。如果存在拐點，則在建模時必須用不同的模型去分段擬合該時間序列，例如采用門限回歸模型。

　�、郾孀R合適的隨機模型，進行曲線擬合，即用通用隨機模型去擬合時間序列的觀測數(shù)據(jù)。對于短的或簡單的時間序列，可用趨勢模型和季節(jié)模型加上誤差來進行擬合。對于平穩(wěn)時間序列，可用通用ARMA模型（自回歸滑動平均模型）及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型或組合-ARMA模型等來進行擬合。當觀測值多于50個時一般都采用ARMA模型。對于非平穩(wěn)時間序列則要先將觀測到的時間序列進行差分運算，化為平穩(wěn)時間序列，再用適當模型去擬合這個差分序列。

　　系統(tǒng)描述：根據(jù)對系統(tǒng)進行觀測得到的時間序列數(shù)據(jù)，用曲線擬合方法對系統(tǒng)進行客觀的描述。

　　系統(tǒng)分析：當觀測值取自兩個以上變量時，可用一個時間序列中的變化去說明另一個時間序列中的變化，從而深入了解給定時間序列產(chǎn)生的機理。

　　預測未來：一般用ARMA模型擬合時間序列，預測該時間序列未來值。

　　決策和控制：根據(jù)時間序列模型可調整輸入變量使系統(tǒng)發(fā)展過程保持在目標值上，即預測到過程要偏離目標時便可進行必要的控制。

　　用隨機過程理論和數(shù)理統(tǒng)計學方法，研究隨機數(shù)據(jù)序列所遵從的統(tǒng)計規(guī)律，以用于解決實際問題。由于在多數(shù)問題中，隨機數(shù)據(jù)是依時間先后排成序列的，故稱為時間序列。它包括一般統(tǒng)計分析（如自相關分析、譜分析等），統(tǒng)計模型的建立與推斷，以及關于隨機序列的最優(yōu)預測、控制和濾波等內容。經(jīng)典的統(tǒng)計分析都假定數(shù)據(jù)序列具有獨立性，而時間序列分析則著重研究數(shù)據(jù)序列的相互依賴關系。后者實際上是對離散指標的隨機過程的統(tǒng)計分析，所以又可看作是隨機過程統(tǒng)計的一個組成部分。例如，用x（t）表示某地區(qū)第t個月的降雨量，{x（t），t=1，2，…}是一時間序列。對t=1，2，…，T，記錄到逐月的降雨量數(shù)據(jù)x（1），x（2），…，x（T），稱為長度為T的樣本序列。依此即可使用時間序列分析方法，對未來各月的雨量x（T+l）（l=1，2，…）進行預報。時間序列分析在第二次世界大戰(zhàn)前就已應用于經(jīng)濟預測。二次大戰(zhàn)中和戰(zhàn)后，在軍事科學、空間科學和工業(yè)自動化等部門的應用更加廣泛。

　　就數(shù)學方法而言，平穩(wěn)隨機序列（見平穩(wěn)過程）的統(tǒng)計分析，在理論上的發(fā)展比較成熟，從而構成時間序列分析的基礎。

　　頻域分析　一個時間序列可看成各種周期擾動的疊加，頻域分析就是確定各周期的振動能量的分配，這種分配稱為"譜"，或"功率譜".因此頻域分析又稱譜分析。譜分析中的一個重要是統(tǒng)計量，  稱為序列的周期圖。當序列含有確定性的周期分量時，通過I（ω）的極大值點尋找這些分量的周期是譜分析的重要內容之一。在按月記錄的降雨量序列中，序列x（t）就可視為含有以12為周期的確定分量，所以序列x（t）可以表示為  ，它的周期圖I（ω）處有明顯的極大值。

　　當平穩(wěn)序列的譜分布函數(shù)F（λ）具有譜密度ƒ（λ）（即功率譜）時，可用（2π）-1I（λ）去估計？（λ），它是ƒ（λ）的漸近無偏估計。如欲求ƒ（λ）的相合估計，可用I（ω）的適當?shù)钠交�值去估�?span style="FONT-FAMILY: "Times New Roman","serif"; FONT-SIZE: 14pt; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-fareast-font-family: 宋體; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA" lang="EN-US">ƒ（λ），常用的方法為譜窗估計即取ƒ（λ）的估計弮（λ）為 ，式中wt（ω）稱為譜窗函數(shù)。譜窗估計是實際應用中的重要方法之一。譜分布F（λ）本身的一種相合估計可由I（ω）的積分直接獲得，即 .研究以上各種估計量的統(tǒng)計性質，改進估計方法，是譜分析的重要內容。

　　時域分析　它的目的在于確定序列在不同時刻取值的相互依賴關系，或者說，確定序列的相關結構。這種結構是用序列的自相關函0，1，…）來描述的，為序列的自協(xié)方差函數(shù)值，m=Ex（t）是平穩(wěn)序列的均值。常常采用下列諸式給出m，γ（k），ρ（k）的估計：        ，通（k）了解序列的相關結構，稱為自相關分析。研究它們的強、弱相合性及其漸近分布等問題，是相關分析中的基本問題。

　　模型分析　20世紀70年代以來，應用最廣泛的時間序列模型是平穩(wěn)自回歸-滑動平均模型 （簡稱ARMA模型）。其形狀為： 式中ε（t）是均值為零、方差為σ2的獨立同分布的隨機序列；和σ2為模型的參數(shù)，它們滿足： 　對一切|z|≤1的復數(shù)z成立。p和q是模型的階數(shù)，為非負整數(shù)。特別當q=0時，上述模型稱為自回歸模型；當p=0時， 稱為滑動平均模型。根據(jù)x（t）的樣本值估計這些參數(shù)和階數(shù)，就是對這種模型的統(tǒng)計分析的內容。對于滿足ARMA模型的平穩(wěn)序列，其線性最優(yōu)預測與控制等問題都有較簡捷的解決方法，尤其是自回歸模型，使用更為方便。G.U.尤爾在1925～1930年間就提出了平穩(wěn)自回歸的概念。1943年，Η。Β。曼和Α。瓦爾德發(fā)表了關于這種模型的統(tǒng)計方法及其漸近性質的一些理論結果。一般ARMA模型的統(tǒng)計分析研究，則是20世紀60年代后才發(fā)展起來的。特別是關于p，q值的估計及其漸近理論，出現(xiàn)得更晚些。除ARMA模型之外，還有其他的模型分析的研究，  其中以線性模型的研究較為成熟，而且都與ARMA模型分析有密切關系。

　　回歸分析如果時間序列x（t）可表示為確定性分量φ（t）與隨機性分量ω（t）之和，根據(jù)樣本值x（1），x（2），…，x（T）來估計φ（t）及分析ω（t）的統(tǒng)計規(guī)律，屬于時間序列分析中的回歸分析問題。它與經(jīng)典回歸分析不同的地方是，ω（t）一般不是獨立同分布的，因而在此必須涉及較多的隨機過程知識。當φ（t）為有限個已知函數(shù)的未知線性組合時，即 ，式中ω（t）是均值為零的平穩(wěn)序列，α1，α2，…，αs是未知參數(shù)，φ1（t），φ2（t），…，φs（t）是已知的函數(shù)，上式稱為線性回歸模型，它的統(tǒng)計分析已被研究得比較深入。前面敘述的降雨量一例，便可用此類模型描述�；貧w分析的內容包括：當ω（t）的統(tǒng)計規(guī)律已知時，對參數(shù)α1，α2，…，αs進行估計，預測x（T+l）之值；當ω（t）的統(tǒng)計規(guī)律未知時，既要估計上述參數(shù)，又要對ω（t）進行統(tǒng)計分析，如譜分析、模型分析等。在這些內容中，一個重要的課題是：在相當廣泛的情況下，證明 α1，α2，…，αs的最小二乘估計，與其線性最小方差無偏估計一樣，具有相合性和漸近正態(tài)分布性質。最小二乘估計姙j（1≤j≤s）不涉及ω（t）的統(tǒng)計相關結構，是由數(shù)據(jù)x（1），x（2），…，x（T）直接算出，由此還可得

　　進行時間序列分析中的各種統(tǒng)計分析，以代替對ω（t）的分析。 在理論上也已證明，在適當?shù)臈l件下，這樣的替代具有滿意的漸近性質。由于ω（t）的真值不能直接量測，這些理論結果顯然有重要的實際意義。這方面的研究仍在不斷發(fā)展。

　　時間序列分析中的最優(yōu)預測、控制與濾波等方面的內容見平穩(wěn)過程條。近年來多維時間序列分析的研究有所進展，并應用到工業(yè)生產(chǎn)自動化及經(jīng)濟分析中。此外非線性模型統(tǒng)計分析及非參數(shù)統(tǒng)計分析等方面也逐漸引起人們的注意。